PFA (aksjomat)
Aksjomat forsingowy PFA, czyli aksjomat proper forcing axiom, jest istotnym elementem teorii mnogości oraz topologii. Wprowadza on szczególne właściwości dotyczące porządków częściowych, które mają zastosowanie w różnych dziedzinach matematyki. PFA ma za zadanie zapewnić istnienie filtrów gęstych w kontekście pojęć forsingu, co pozwala na lepsze zrozumienie struktury zbiorów i ich własności.
Definicje formalne
W pierwszej kolejności warto przyjrzeć się pojęciu forsingu. Niech P oznacza pojęcie forsingu, które można zapisać jako P = (P, ≤). Zbiór G jest filtrem w P, jeśli spełnia określone warunki: musi być niepusty, dla dowolnych p, q z P, jeśli q ≤ p oraz q należy do G, to również p należy do G. Ponadto, dla p i q należących do G powinno istnieć r z G takie, że r ≤ p oraz r ≤ q.
Oprócz tego, zbiór I jest gęstym podzbiorem P, jeśli dla każdego p z P istnieje q z I takie, że q ≤ p. Definiując pojęcie generyczności w kontekście forsingu, można powiedzieć, że dany warunek q w P jest generyczny względem modelu N, jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha A z P w modelu N oraz dla dowolnego r z A, jeśli r i q są niesprzeczne, to r należy do N.
PFA i BPFA
Aksjomat PFA stwierdza, że jeśli pojęcie forsingu P jest proper oraz I jest rodziną gęstych podzbiorów P z mocą co najwyżej aleph 1, to istnieje filtr G w P, który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z I. Oznacza to, że można skonstruować filtr gęsty w ramach zadanych warunków.
Z kolei BPFA (Bounded Proper Forcing Axiom) jest słabszą wersją aksjomatu PFA. Stwierdza on, że jeżeli pojęcie forsingu P jest proper oraz A jest rodziną maksymalnych antyłańcuchów w zupełnej algebrze Boole’a związanej z tym forsowaniem i moc rodziny A również wynosi co najwyżej aleph 1, to istnieje filtr G w RO(P), który ma niepusty przekrój z każdym antyłańcuchem z A.
Historia i niesprzeczność
Idea aksjomatów forsingowych została zaproponowana przez izraelskiego matematyka Saharona Szelacha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. Jego prace nad forsowaniem proper przyczyniły się do rozwoju teorii mnogości. W 1980 roku Szelach opublikował pierwsze systematyczne badania dotyczące forsingu proper oraz związanych z nim aksjomatów.
W 1995 roku Martin Goldstern oraz Szelach wprowadzili aksjomat BPFA, który zyskał popularność dzięki swoim słabszym założeniom umożliwiającym udowodnienie jego niesprzeczności. Kluczowym narzędziem służącym do wykazania niesprzeczności zarówno PFA jak i BPFA jest twierdzenie Szelacha dotyczące iteracji przeliczalnych nośników forsingu proper.
Twierdzenie to mówi, że jeśli teoria „ZFC+istnieje liczba super-zwarta” jest niesprzeczna, to także teoria „ZFC+PFA” musi być niesprzeczna. Z kolei dla BPFA wystarczy założenie o istnieniu liczby Mahlo do uzyskania podobnego efektu.
Przykłady forsingów proper
Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu oraz wszystkie ccc pojęcia forsingu są uważane za proper. Przykłady takich forsings obejmują m.in. forsowanie Lavera, Mathiasa oraz Sacksa. Każde pojęcie forsingu skonstruowane zgodnie z metodą norm na możliwościach również spełnia warunki bycia proper.
Konsekwencje PFA
Aksjomat PFA prowadzi do wielu interesujących konsekwencji w teorii mnogości. Na przykład zakładając PFA można stwierdzić, że 2^{aleph_0} = 2^{aleph_1} = aleph_2. Ponadto aksjomat ten implikuje istnienie maksymalnych antyłańcuchów oraz skutkuje brakiem drzew Kurepy.
Inną konsekwencją wynikającą z założenia PFA jest twierdzenie o izomorfizmie porządkowym: każde dwa aleph_1-gęste podzbiory prostej rzeczywistej są porządkowo izomorficzne. Oznacza to, że niezależnie od wyboru dwóch takich zbiorów istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie między nimi zachowujące strukturę porządku.
Zakończenie
Aksjomat forsingowy PFA stanowi istotny element współczesnej teorii mnogości oraz matematyki ogólnie. Jego zastosowania obejmują nie tylko teorię zbiorów, ale także topologię i inne dziedziny matematyki. W kontekście gęstości podzbiorów i właściwości porządkowych dostarcza cennych narzędzi analitycznych. Historia jego powstania oraz rozwój idei forsingowych pokazują znaczenie współczesnej matematyki i jej ewolucji w odpowiedzi na skomplikowane pytania dotyczące natury zbiorów i ich struktur.
Artykuł sporządzony na podstawie: Wikipedia (PL).